2010/1/14追記：どうも動いていなかった模様。ファーストサーバから回答を頂いた。

「現在ご契約中のサーバでのデータベース機能(MySQL) は、ホスト名で
のアクセスを前提に提供させて頂いており、MySQL のパスはご案内いた
しておりません。

また、弊社サーバでは mysqldump をご用意いたしておりません。

  ※個別にmysqldump をご用意させていただく等の対応も
    行なっておりません。」

フォーラムでも混乱を招いてしまったので早めに追記しておきます。

以前にもWP-DBManagerの記事を載せたのですが、今回wordpress2.8.4、WP-DBManager2.50でファーストサーバーのバックアップ方法を覚書。以前の記事では一部エラーが残っていたが、今回はきっちり動きました。

WP-DBManagerはプラグインの新規追加から検索すれば簡単に見つかります。インストールも自動でOK。
有効化すると「バックアップフォルダが安全じゃないよ！」と怒られるので、プラグインフォルダにあるhtaccess.txtを.htaccessにリネームしてWP-DBManagerが自動生成したwp-content配下のbackup-dbフォルダにアップロード、以降怒られません。

日本語化の方法は今回は小粋空間さんを参考にしました。ご覧あれ。

日本語化するとメニューも「データベース」になります。ここからDB オプションを選びましょう。
mysqldumpのパスもmysqlのパスも自動検索は無理です。以下の設定で。
mysqldumpのパス:

/usr/local/mysql

mysqlのパス:

/usr/local/bin

これでDBバックアップをクリックすればエラーはでないはずです。試しに手動バックアップしてFTPで確認してみてください。メールでも送れます、便利ですねぇ。